不是钙奶,是判别法 AD审敛


前言

这个东西算是数学分析里的常客了,算算到目前为止也出现了3次。但是总感觉这一套听起来有点不是那么自然(相比于 Cauchy 和 d'Alembert 等这些证明过程直接、思路流畅的),这直接导致的后果就是让初见者对它印象不深、容易遗忘等。

但AD审敛法说穿了也就是一种相乘求和式的收敛规则,再怎么讲也没办法转化为多么直观的东西,所以此博客一是为了我自己加深印象,二是希望能让看博客的你有那么一点点新感触,仅此而已。


简介

Abel-Dirichlet 判别法在数学分析的三个地方出现过:反常积分收敛判断、数项级数收敛判断、函数项级数一致收敛判断。这里以数项级数为例来详细讲讲,其它两种其实都可以看成自然而然的推广形式。

数项级数中它的定义如下:

\(\{a_n\}\) 单调有界,\(\{\sum\limits_{i=1}^nb_n\}\) 有界. 再添加如下条件之一都可得到 \(\{\sum\limits_{i=1}^na_ib_i\}\) 收敛.

\(1.\ \textbf{(Abel)}\ \sum\limits_{i=1}^{\infty}b_i\ 收敛.\)

\(2. \ \textbf{(Dirichlet)}\ \lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=0.\)

这里我为了下面的解释方便所以稍微整理了一下定理的形式,所以和教科书上有点不一样。

当然干看这个肯定还是比较难受的,下面我们在推导过程中详细剖析一下它的道理。


推导

为什么要有那两个前置条件?

其实这个前置条件是我整理得到的,也就是Abel和Dirichlet它们共同要求的性质。

那么它们为什么不约而同都会需要这些呢?有界可能好理解,因为可以进行放缩;那单调又算怎么回事?

我们首先要弄清楚AD判别法是为了干什么。既然叫判别法,肯定是为了判断——判断数列是否收敛。更准确地,AD专门判断形如两个数列对应项乘起来得到的级数的收敛情况,即如下的乘积形式:$$\sum_{i=1}^na_ib_i $$

由于我们只关心它收不收敛,不关心它收敛到哪(至少在这个问题上我们是不关心的),所以我们直接采用柯西收敛原理。这个定理的好处在于我们可以仅通过级数本身判断其收敛情况,而不用关心极限点。

也就是说,我们要得到如下形式的不等式:

$$|\sum_{i=n+1}^ma_ib_i| \le \varepsilon$$

我们的目标就是给这两个数列加上一定的条件,使得它满足柯西条件,进而能判断它收敛。不过只是这个形式并不好操作——求和号的存在极大限制了我们进行分析,大神Abel提供了一种很棒的变形思路,能帮助我们处理这个式子:

(定理) Abel变换:

$$\sum_{i=1}^na_ib_i = a_nB_n-\sum_{i=1}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)B_i$$

其中 $$B_i=\sum_{j=1}^i b_j$$ 即 b 的前 n 项和。

你可能会觉得这样变换反而增加了复杂度,能有什么好处?但事实上,观察后面那一项式子,我们发现出现了 \(a_{i+1}-a_i\) 这样的差分形式,这种东西在求和时很有希望能临项相消掉,有助于我们去掉求和符号

这个变换其实是个很初等的变换,只是写成了这样的形式不太好看出来。事实上它可以理解成“离散分部积分公式”——只要把求前 n 项和当成积分,差分形式当成微分就好。

此外还有个很直观的理解,可以看下面这张图。

然后为了让 \(\sum_{i=1}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)B_i\) 能够临项相消,我们需要想办法去掉 B 。这里我们添加条件:数列 \(\{B_i\}\) 有界,使得我们可以直接放掉。

有界除了有“把数列放缩成常数”这种作用外,还起到限制规模的效果——也就是说界永远是确定的数,这样如果能产生 \(M\varepsilon\) 这种式子,我们的目的也达到了(其中 M 是界,也就是我们常说的 \( \varepsilon​​\) 可以乘上一个倍数这个道理)

假设 \(\exists M > 0,\ \forall n,\ |B_n| \le M\),那么

$$|\sum_{i=1}^na_ib_i| = |a_nB_n-\sum_{i=1}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)B_i| \\ \le |a_nB_n|+|\sum_{i=1}^{n-1}|a_{i+1}-a_i||B_i| \\ \le M(|a_n|+\sum_{i=1}^{n-1}|a_{i+1}-a_i|)$$

然后我们发现加了加了绝对值后出现了一个尴尬的事:\(|a_{i+1}-a_i|\) 邻项是消不掉的。怎样去掉绝对值号呢?我们添加条件:数列 \(a_i\) 单调,这样就使得

$$\sum_{i=1}^{n-1}|a_{i+1}-a_i|=|\sum_{i=1}^{n-1}(a_{i+1}-a_i)|=|a_n-a_1|$$

这样原式就可以放缩为

$$|\sum_{i=1}^na_ib_i| \le M(|a_n|+|a_n-a_1|) \le M(|a_1|+2|a_n|)$$

考虑我们使用的是柯西收敛原理,所以应该是

$$|\sum_{i=n+1}^{n+p}a_ib_i| \le M(|a_{n+p}|+|a_{n+p}-a_{n+1}|) \le M(|a_{n+1}|+2|a_{n+p}|)$$

注意此时起点变到了 n+1,因此 B 的定义也要改写一下

$$B_i=\sum_{j=n+1}^{n+i}b_j$$

同时新的 B 的界也会改变

$$|B_i|=|\sum_{j=n+1}^{n+i}b_j|=|\sum_{j=1}^{n+i}b_j-\sum_{j=1}^{n}b_j| \le 2M$$

这下就方便我们继续添加约束了。此时 B 已经被我们放缩成有界量,而我们肯定不希望 \(|a_{n+1}|\) 和 \(|a_{n+p}|\) 无界,因此我们再添加条件:数列 \(a_i\) 有界,为了区分两个界,分别记为 \(M_a,\ M_B\),放缩结果就是

$$|\sum_{i={n+1}}^{n+p}a_ib_i| \le 6M_aM_B$$

接下来为了达成柯西列条件,我们只需要让 \(M_a\) 或者 \(M_B\) “变成” \(\varepsilon\)。

如果想让 \(M_a\) 变,就需要添加条件:\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty}a_n=0\),也即 Dirichlet 收敛准则,这是因为只要 n 足够大,\(a_{n+1},\ a_{n+p}\) 都能小于 \(\varepsilon\);

如果想让 \(M_B\) 变,就需要添加条件:\(\sum\limits_{i=1}^{\infty}b_i\) 收敛,也即 Abel 收敛准则,这是因为此时根据柯西收敛原理,当 n 足够大时可以有 \( B_i < \varepsilon \)。

至此,我们相对自然地引入了A-D判别法。


其它

都是一家之言,大家选择性吸收就好,笔误欢迎指正!

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如飞蛾之赴火,岂焚身之可吝。